3 Материалдық туынды түсінігі

3.1. Көлем элементінің, бет элементінің және сызықтық элементтің уақыт бойынша материалдық туындысы

3.2 Көлемдік, беттік және сызықтық интегралдан уақыт бойынша материалдық туынды алу

Өзіндік жұмысқа арналған сұрақтар

3.1. Көлем элементінің, бет элементінің және сызықтық элементтің уақыт бойынша материалдық туындысы

Айталық, элемент t=0 уақытында көлемді, ал t=t уақытында  көлемді болсын (сурет 3.1). Егер t=0 болғанда бастапқы элемент көлемі тікбұрышты паралелипипед түрінде алынса, онда

                .    (2.36)

3.1 – сурет.

Қозғалыс кезінде бұл паралелипипед орның ауыстырады және бұрмаланады(бұрылады), бірақ қозғалыстың үзіліссіздігі кезінде қирамайды. Расында да, (3.33) формуладағы материалдық және кеңістіктік сызықтық элементтер арасындағы байланыс салдарынан, бұрын  болған кесінді шексіз аз сызықты  кесіндіні  құрайды. Жоғарыдағыға ұқсас  кесіндісі -ге, ал  кесіндісі -ке ауысады. Сондықтан  қабырғалары  болатын сығылған паралелпипед болады және

    .           (2.37)

Бұл көлемді келесі түрде жазуға болады:

    ,           (2.38)

мұндағы  – (2.3) формула арқылы анықталған якобиан. Енді (2.38) – ді пайдаланып – дан уақыт бойынша материалдық туынды алуға болады:

                            ,               (2.39)

себебі  уақыттан тәуелсіз болғандықтан . Якобианнан алынған материалдық туынды келесіге тең болады:

                     немесе     ,                 (2.40)

онда (2.39) формула келесі түрге келтіріледі:

         немесе     .        (2.41)

Бастапқыда  ауданы бар беттің шексіз аз элементін, оның  нормалының бірлік векторының көмегімен(оның ориентациясымен бірге)  өрнегімен беруге болады. Ортаның қозғалысы кезінде, басында  ауданың құраған бөлікшелер қарастырылып отырған жағдайда  немесе  аудан элементтерін толтырады. Келесі теңдіктің орындалатының көрсетуге болады:

         немесе     .              (2.42)

Осыдан аудан элементінің материалдық туындысын табамыз:

                .    (2.43)

Шексіз аз сызықтық элементтің ұзындық квадратынан материалдық туындыны жоғарыдағыдай әдіспен аламыз:

                .                  (2.44)

Бірақ та  болғандықтан,

    ,        (2.45)

болады да, (2.44) келесі түрге келеді:

      немесе   .    (2.46)

Оң жақтағы өрнек индекстік формадағы i, k индекстеріне сәйкес келеді. Онда индекстік формада жоғарыдағы өрнек келесі түрде болады:

                ,     (2.47)

немесе (2.20) өрнекті ескеріп келесі түрде жазуға болады:

   немесе  .      (2.48)